Trong không gian cho hai đường thẳng chéo nhau d và △ , vuông góc với nhau và nhận AB=a làm đoạn vuông góc chung A ∈ d , B ∈ △ . Trên d lấy điểm M, trên △ lấy điểm N sao cho AM=2a, BN=4a. Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và BI là
A. 4 a 17 17
B. a
C. 4 a 5
D. 2 a 2 3
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau theo giao tuyến ∆ . Trên đường thẳng ∆ lấy hai điểm A, B với AB=a. Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C và trong mặt phẳng (Q) lấy điểm D sao cho AC, BD cùng vuông góc với ∆ và AC=BD=AB. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là:
Cho mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau theo giao tuyến ∆ . Trên đường thẳng ∆ lấy hai điểm A, B với AB=a. Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C và trong mặt phẳng (Q) lấy điểm D sao cho AC, BD cũng vuông góc với ∆ và AC=AB=BD. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là :
Cho mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau theo giao tuyến ∆. Trên đường thẳng ∆ lấy hai điểm A, B với AB = a. Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C và trong mặt phẳng (Q) lấy điểm D sao cho AC, BD cũng vuông góc với ∆ và AC = BD = AB. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là :
A. a 3 3
B. 2 a 3 3
C. a 3
D. a 3 2
Đáp án D
Phương pháp : Áp dụng phương pháp xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp.
Cách giải : Ta có :
Gọi I là trung điểm của AD, do ∆ABD vuông tại nên M là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABD.
Gọi N là trung điểm của AC.
Qua M kẻ đường thẳng d song song với AC => d ⊥ (ABD)
Qua N kẻ đường thẳng d’ song song với AD => d’ ⊥ AC
Gọi I = d ∩ d' => là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có bán kính R = IA
Ta có: 
Cho hai đường thẳng ∆ và ∆ ′ chéo nhau nhận AA’ làm đoạn vuông góc chung, trong đó A thuộc ∆ và A’ thuộc ∆ ′ . Gọi (P) là mặt phẳng qua A vuông góc với ∆ ′ và d là hình chiếu vuông góc của ∆ trên mặt phẳng (P). Đặt AA’ = a, góc nhọn giữa ∆ và d là α . Mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) cắt ∆ và ∆ ′ lần lượt tại M và M’. Gọi M 1 là hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (P).
Khi x thay đổi, tâm O của mặt cầu (S) di động trên đường nào? Chứng minh rằng khi (Q) thay đổi mặt cầu (S) luôn luôn đi qua một đường tròn cố định.
Hình tứ giác A’M’M M 1 là hình chữ nhật nên tâm O cũng là trung điểm của A’M. Do đó khi x thay đổi thì mặt phẳng (Q) thay đổi và điểm O luôn luôn thuộc đường thẳng d’ đi qua trung điểm I của đoạn AA’ và song song với đường thẳng ∆ . Vì mặt cầu tâm O luôn luôn đi qua hai điểm cố định A, A’nên nó có tâm O di động trên đường thẳng d’. Do đó mặt cầu tâm O luôn luôn chứa đường tròn tâm I cố định có đường kính AA’ cố định và nằm trong mặt phẳng cố định vuông góc với đường thẳng d’.
Cho hai đường thẳng ∆ và ∆ ′ chéo nhau nhận AA’ làm đoạn vuông góc chung, trong đó A thuộc ∆ và A’ thuộc ∆ ′ . Gọi (P) là mặt phẳng qua A vuông góc với ∆ ′ và d là hình chiếu vuông góc của ∆ trên mặt phẳng (P). Đặt AA’ = a, góc nhọn giữa ∆ và d là α . Mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) cắt ∆ và ∆ ′ lần lượt tại M và M’. Gọi M 1 là hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (P).
Chứng minh 5 điểm A, A’, M, M’, M 1 cùng nằm trên mặt cầu (S). xác định tâm O của (S). Tính bán kính của (S) theo a, α và khoảng cách x giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).
Vì mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với Δ′ nên AA’ thuộc (P). Vì M thuộc ∆ mà d là hình chiếu vuông góc của ∆ trên (P) nên M 1 thuộc d. Vì MA ⊥ AA′ ⇒ M 1 A ⊥ AA′
Mặt khác M 1 A ⊥ M′A′ nên ta suy ra M 1 A ⊥ (AA′M′). Do đó M 1 A ⊥ M′A và điểm A thuộc mặt cầu đường kính M’ M 1
Ta có M′A′ ⊥ (P) nên M′A′ ⊥ A′ M 1 , ta suy ra điểm A’ cũng thuộc mặt cầu đường kính M’ M 1
Ta có (Q) // (P) nên ta suy ra
M M 1 ⊥ (Q) mà MM’ thuộc (Q), do đó M 1 M ⊥ MM′
Như vậy 5 điểm A, A’, M, M’, M 1 cùng thuộc mặt cầu (S) có đường kính M’ M 1 . Tâm O của mặt cầu (S) là trung điểm của đoạn M’ M 1
Ta có M ' M 1 2 = M ' A ' 2 + A ' M 1 2 = M ' A ' 2 + A ' A 2 + AM 1 2 = x 2 + a 2 + x 2 cot 2 α vì M M 1 = x
Bán kính r của mặt cầu (S) bằng (M′ M 1 )/2 nên
Trong không gian với hệ tọa độ cho ba điểm A(−2;0;0), B(0;−2;0)và C(0;0;−2). Gọi D là điểm khác O sao cho DA,DB,DC đôi một vuông góc với nhau và I(a;b;c) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.Tính S=a+b+c
A. S= -3
B. S= -1
C. S= -2
D. S= -4
Đáp án B
Vì DA, DB,DC đôi 1 vuông góc, D khác O suy ra D đối xứng với O qua mp (ABC)
Mp (ABC) có dạng x+y+z+2=0
Suy ra D 
Trung điểm K (0;-1;-1) của BC
suy ra đường thẳng đi qua K và song song với AD có 
(d1)
Trung điểm P
của AD
suy ra đường thẳng đi qua P và song song với DK có ptđt 
(d2)
Tâm I là giao của
d
1
,
d
2
suy ra I 
suy ra S=a+b+c=-1
Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề nào là đúng?
a) Đường thẳng Δ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng a và b nếu Δ ⊥a và Δ ⊥b.
b) Gọi (P) là mặt phẳng song song với cả hai đường thẳng a và b chéo nhau thì đường vuông góc chung của a và b luôn luôn vuông góc với (P).
c) Gọi Δ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b thì Δ là giao tuyến của hai mặt phẳng (a, Δ) và (b, Δ).
d) Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Đường thẳng nào đi qua một điểm M trên a đồng thời cắt b tại N và vuông góc với b thì đó là đường vuông góc chung của a và b.
e) Đường vuông góc chung Δ của hai đường thẳng chéo nhau a và b nằm trong mặt phẳng chứa đường này và vuông góc với đường kia.
a) Sai
Sửa lại: "Đường thẳng Δ là đường thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b nếu Δ cắt cả a và b, đồng thời Δ ⊥ a và Δ ⊥ b"
b) Đúng
c) Đúng
d) Sai
Sửa lại: Đường thẳng đi qua M trên a và vuông góc với a, đồng thời cắt b tại N và vuông góc với b thì đó là đường vuông góc chung của a và b.
e) Sai.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai điểm A (2;1;3), B (6;5;5). Gọi (S) là mặt cầu đường kính AB Mặt phẳng (P) vuông góc với AB tại H sao cho khối nón đỉnh A và đáy là hình tròn tâm H (giao của mặt cầu (S) và mặt phẳng (P)) có thể tích lớn nhất, biết rằng (P): 2x + by + cz + d = 0 với b,c,d ∈ Z. Tính S = b + c + d .
A. S = 18
B. S = -18
C. S = -12
D. S = 24
